Alain Bernard, 20 octobre 2018 / révisé le 14 janvier 2019 en fonction des remarques de Catherine,  Frédéric, Katalin. Certains échanges plus développés donneront éventuellement lieu à d’autres billets.  Ce billet suit un atelier organisé le 19 octobre dont l’annonce, comprenant la référence aux textes discutés, se trouve ici: https://problemata.hypotheses.org/568.

Introduction et présentation  

La comparaison critique, dans le cadre d’un atelier de lectures du projet « séries de problèmes », de deux passages du traité des Éléments de Géométrie de Clairaut, a permis de dégager de nouvelles pistes de lecture sur le texte. Je résume ici, à partir de mes notes de séance, ce que sont d’après moi les principales de ces pistes. Un des grands intérêts de la séance était de profiter de la présence de Frédéric Métin (Université de Bourgogne), qui a déjà participé aux travaux du centre sur les mobilités d’ingénieur via son étude sur Jean Errard de Bar-le-Duc (annonce et publication), et qui a pu proposer de multiples pistes de lecture tirées de la comparaison avec les textes qu’il a étudiés en priorité. 

Je commence pour cela par (1) récapituler les enjeux du travail préparatoire à cette séance, qui a notamment permis de choisir les deux passages à comparer, et formuler les principales questions adressées aux textes. Puis je dégage deux groupes d’idées majeures concernant soit l’analyse soit la contextualisation du traité : (2) le rapport entre le traité de Clairaut et les traités pratiques, notamment ceux de géométrie pratique ; (3) le rapport entre le traité de Clairaut et la géométrie savante, au-delà de la critique apparente qu’il fait de cette dernière. Je conclus par (4) la discussion du rapport entre analyse du texte, et contextualisation au sens strict. 

1. Le travail préparatoire

Il s’agit d’un travail d’analyse et tout à la fois de contextualisation des deux traités d’Éléments de Clairaut (Éléments de géométrie, Éléments d’algèbre), conduit par Katalin Gosztonyi, Catherine Darley, moi-même, depuis un an. Du côté de l’analyse, il s’agit de comprendre la structuration du texte, sa logique, et le degré de correspondance entre cette logique effective de rédaction et celle qui est explicitement annoncée dans le projet d’écriture de Clairaut, décrit dans ses préfaces. Pour cela une méthode est mise en place, inspirée par celle que Katalin a proposé pour rendre compte de l’enchaînement des problèmes et questions dans deux chapitres des Jeux avec l’infini de R. Péter (résumé de son travail dans Gosztonyi 2015). Il s’agit donc de fonder la possibilité d’organiser un « graphe » de l’enchaînement des problèmes chez Clairaut, mettant à jour la logique profonde de cet enchaînement, pour examiner si cette logique correspond effectivement à ce qu’annonce Clairaut, et jusqu’à quel point elle le fait.  

Une étape préliminaire à cette analyse (pour des raisons qui ne peuvent être développées ici) consiste à suppléer à un défaut intéressant de la structuration du texte par Clairaut lui-même : si Clairaut a une préface générale, expliquant le sens et l’objectif profond du traité ; des préfaces partielles à chacun des quatre livres, expliquant l’objet de chacun (I. Mesure des terrains ; II ; mesures des surfaces rectilignes ; III. Mesure de surface curvilignes ; IV Mesure des solides) ; s’il a un découpage par articles pour chacun des livres ; il ne signale pas de stade intermédiaire qui permettrait d’organiser des sortes de « chapitres » dans chacun des livres : les articles se suivent selon une logique locale, chaque conclusion d’article ouvrant vers de nouveaux développements qui font l’objet des articles suivants. Pourtant, on s’aperçoit vite, au moins pour une partie du livre I, qu’un autre mode d’organisation structure le texte, suivant ce que nous avons appelé provisoirement des « problèmes générateurs » qui sont comme des « têtes de chapitre », et ils sont générateurs au sens où ils engendrent l’énonciation de toutes sortes de problèmes dérivés qui apparaissent comme autant de préconditions pour énoncer une solution ou procédure générale de ces problèmes. Les principaux dans le livre I, tous d’allure pratique, sont (1) la mesure des terrains par approximation et découpage en triangles ; (2) la mesure des terrains par report à l’échelle un pour un ; (3) la mesure des terrains par réduction et mise à l’échelle ; (4) la mesure et le report des angles ; enfin (5) la vérification de la mesure des angles. Ils sont tous caractérisés par des articles (souvent non signalés dans la table des matières de Clairaut !) qui introduisent ces problèmes les énoncent, souvent d’une manière très verbale et prolongée, et d’autres, plus loin, qui livrent une sorte de solution générale à chaque problème. Entre les deux, un certain nombre de « sous-problèmes » ont été introduits, le plus souvent d’allure théorique, qui trouvent leur justification finale dans le fait qu’ils permettent de construire une solution. (( Tous les problèmes théoriques introduits dans le livre I, ne relèvent pas tous de cette logique de “dérivation” mais d’une logique différente qui reste à explorer. ))

L’atelier a ainsi été préparé par une table synoptique, qui n’est encore qu’une ébauche, et met en valeur ces transitions (lien). Elle permet de repérer dans les livres I et II les grands « blocs » de problèmes principaux que Clairaut entend à la fois traiter, et en faire le prétexte à l’introduction de notions et méthodes nouvelles. La difficulté, c’est que si les problèmes générateurs du livre I sont d’allure pratique, ceux des livres II, III et IV ressortent explicitement de la théorie géométrique. On peut donc se demander si cette lecture structurante par « problèmes générateurs » fonctionne de la même façon pour ces livres plus théoriques, que pour le premier. D’où l’idée de faire une comparaison critique entre deux tels « blocs », l’un pris au livre I, l’autre au livre II, chacun répondant à un seul et même problème générateur. 

Du côté de la contextualisation, il s’agit autant que possible de mettre en regard les particularités du projet d’écriture des mathématiques « par problèmes », de Clairaut,¹ avec différents éléments d’environnement familial, social, culturel :  

• D’un point de vue familial, que peut-on tirer de ce qu’on sait du contexte très particulier dans lequel il est éduqué, aux mains d’un père (J.B. Clairaut) qui évolue d’une part dans un milieu d’ingénieurs et de militaires (la carrière militaire aurait été du reste celle à laquelle Clairaut aurait d’abord rêvé) et aux méthodes pédagogiques très inventives. Catherine D pense aujourd’hui qu’un axe d’interprétation possible des particularités « didactiques » du traité pourraient s’interpréter, en fonction de l’expérience de Clairaut fils comme apprenant. Tout se passe comme si, pour mieux souligner l’importance de l’esprit d’invention, de la découverte par soi-même, Clairaut retraçait son propre mode d’accession au savoir. 
• D’un point de vue social, on sait que Clairaut père entraîne précocement le fils à participer à l’éphémère « société des arts » très étudiés par les collègues qui ont recherché soit les racines de l’encyclopédisme de Diderot et d’Alembert, soit par les collègues qui s’intéressent aux origines d’un discours « technologique » ainsi qu’à sa signification dans le mouvement des lumières. Le livre récent de Paola Bertucci, Artisanal Enlightnement (présentation) offre à cet égard une synthèse particulièrement éclairante des questions soulevées par ces initiatives mêlant ambitions politiques et parti-pris épistémologiques très marqués. 

• D’un point de vue culturel, on s’intéresse à la manière dont le projet philosophique de Clairaut s’inscrit dans un mouvement d’idées plus général, pour promouvoir, en mathématiques et au-delà, l’esprit d’invention² ; et dans quelles mesure ces idées répondent aux idées du temps, notamment dans ces milieux « d’artistes » au sens où l’entendent les contemporains et que met en valeur Bertucci. 

Ces trois approches convergent sur une question délicate : dans quelle mesure y a-t-il continuité ou non, entre le mode d’écriture de Clairaut, ainsi que les ambitions correspondantes, et ceux d’auteurs de traités semblables à l’époque : traités de géométrie, de caractère élémentaire, méthodique, pratique ; traités pratiques « réduits en art ». L’expertise de spécialistes tels que Frédéric est sur ce point particulièrement éclairante car elle permet d’approfondir cette nécessaire mise en perspective, qui revient finalement à étudier l’épineuse question du degré d’originalité de Clairaut. Car ses textes d’Eléments sont clairement reconnus à l’époque comme une innovation heureuse et recommandable (( voir les réactions relevées dans le beau site d’Olivier Courcelles, au sujet du traité )) ; mais ils sont aussi en continuité avec différents types de genres littéraires existants. Une solution tentante du problème est d’ailleurs de regarder les textes d’éléments comme une synthèse particulièrement originale et réussie, de ces différents modèles. 

Frédéric propose ici de faire une distinction chronologique importante : qu’est-ce ici que “l’époque”? Dans le cadre de la discussion de mi-octobre, il se proposait de comparer le texte de Clairaut avec ceux du siècle précédent ; mais il est d’accord sur le fait qu’il faudrait en fait étudier les géométries pratiques telles qu’elles s’écrivent au début du 18e. Frédéric a l’intuition – à confirmer- que celles du 18e sont beaucoup plus savantes, s’apparentant aux pratiques de construction de problèmes sans s’attacher plus que ça aux questions de terrain. Il propose l’exemple d’Ozanam, ou de Manesson Mallet, qui inscrivent leurs géométries dans des traités épais et complets ; ou carrément comme Ozanam dans une œuvre ayant déjà un caractère encyclopédique et balayant toutes les mathématiques “mixtes”. 

2. La place de la « pratique » dans le traité de Clairaut, et la manière d’approfondir cette lecture 

Beaucoup des réactions de Frédéric à la lecture proposée, particulièrement (mais pas exclusivement) sur le premier extrait (du livre I) peuvent se comprendre comme des comparaisons avec la littérature des géométries pratiques, ou avec la littérature pratique en général (modulo la remarque ci-dessus, fin du §1). Je relève ici les principaux points de comparaison et de discussion : 

• La place de certaines gravures dans les planches, qui empruntent leur codification graphique à celle des cartes de l’époque. Cela débouche sur une question plus générale, puisque ces figures traduisent étroitement la signification accordée à ces problèmes pratiques dans le texte même : les principaux énoncés « générateurs » du livre I, sont-ils reconnaissables sur la planche des figures, en fonction de l’apparence « pratique » d’un certain nombre d’entre elles ? 

• La place du langage procédural dans les Eléments, qui est du point de vue Clairaut, et selon son vocabulaire, celui des « opérations ». Ainsi, nous avons longuement discuté de l’article XXIX, que Frédéric propose de lire comme une sorte d’incise, de « greffon » procédural, tiré d’une géométrie pratique, sur la progression de Clairaut. Or ce « greffon » a en partie une justification notionnelle : vu comme une opération alternative à la première procédure « instrumentale » de report d’angle, vue à l’article précédent, il donne l’occasion d’introduire la notion de corde d’un arc de cercle ; ainsi que l’occasion d’introduire une justification, en référence à un article précédent. Mais surtout, le cœur de la question sous-jacente porte sur tous les passages procéduraux du même genre qui ne sont pas l’exception mais plutôt la règle : introduits généralement au titre « d’opérations », parfois appelés « manières »³  par Clairaut, ces « greffons procéduraux » sont essentiels à l’économie du traité : comme ici pour la corde, les procédures sont l’intermédiaire entre un énoncé, et la « relecture » en termes de justification, qui permet notamment d’introduire des énoncés, des notions ou des éléments de preuve. 
• Il n’en reste pas moins qu’il peut s’agir effectivement d’une sorte d’emprunt stylistique aux géométries pratiques, et à ce titre il serait intéressant d’approfondir cette question en faisant des comparaisons concrètes. Frédéric remarque à ce sujet, que les manipulations d’aires « savantes » du livre II (donc lisibles dans le deuxième extrait) sont aussi un sujet classique des géométries pratiques. Il faudrait donc probablement se garder, de ce point de vue (procédural) de faire des oppositions trop rapides, entre le livre I, et les livres II et III qui relèvent d’une géométrie plus savante et « exacte ». 
• La structure du traité, la logique même à laquelle Clairaut dit vouloir obéir dans l’introduction du livre IV, ressemble fort à une structure classique de traité de géométrie pratique, qui reprend l’ordre des figures savantes, classé en lignes / surfaces / volumes pour ordonner les problèmes de mesure. 
• Enfin se pose le problème délicat de la nature des géométries pratiques, et le cas de Errard de Bar-le-Duc est particulièrement intéressant à cet égard. Car toutes n’ont pas les mêmes ambitions. Ainsi Raynaud dans son recueil sur la géométrie pratique dans les temps modernes (Géométrie pratique, PUFC 2015), n’hésite-t-il pas à classer grossièrement les traités de G.P. suivant leur style, certaines étant plus démonstratives (il range sous cette catégorie les traités de Errard et de Servois, bcp plus tard) d’autres procédurales (les exemples sont ici Leclerc et Mascheroni). Clairaut n’est donc pas tout à fait original dans la manière dont il essaie d’articuler géométrie pratique et savante, ni dans son emphase sur la nécessité d’introduire à la géométrie savante par la pratique. 

Frédéric propose une comparaison entre le traité de Clairaut, et la logique du traité de géométrie pratique de Marolois : cela permettrait en effet de remettre en chantier l’ensemble de ces questions, à partir d’une comparaison plus précise encore, entre les manières d’écrire, d’organiser les traités et entre les intentionnalités complexes des auteurs. Il suggère aussi d’essayer de connaître le catalogue de la bibliothèque des Clairaut (idée déjà suggérée par Catherine dans ses travaux). 

3. les Éléments de Géométrie de Clairaut et la géométrie Euclidienne ; le principe du « ratissage » 

Un élément récurrent de discussion est la place accordée à la géométrie savante -celle d’Euclide- dans l’économie du traité de Clairaut. La critique célèbre de l’ordre des matières dans la géométrie dite « classique » (qu’il faudrait d’ailleurs pouvoir identifier de plus près, pour comprendre à quel type de traité, et armé de quels commentaires, elle correspond) qui ouvre la préface de Clairaut, ne signifie pas stricto sensu que cette géométrie soit révoquée, ou même que sa connaissance ne soit pas présupposée. Outre le fait que ce n’est pas ce que Clairaut dit lui-même dès les premières phrases de sa préface, la discussion montre au contraire que plusieurs aspects du texte vont contre cette interprétation radicale : 

• La mention des géométries ou termes « ordinaires », ce qui signifie donc que le lecteur -du moins le lecteur savant- doit considérer comme ordinaire certains termes ou expressions de la science ; 
• La mention répétée des « Géomètres » comme un type de savant légitime ayant son vocabulaire propre, qu’il s’agit de s’assimiler ; 
• La présupposition implicite que certains types d’objets sont connus, comme par exemple au début du livre II, les différentes espèces de figure : le problème générateur posé (assembler des figures de même espèce en une seule de la même espèce, ou décomposer une figure d’espèce donnée en figures de la même espèce) est ensuite décliné suivant deux espèces principales : les rectangles, puis les carrés – et tout ceci, sans explication très détaillée sur ce point, comme s’il était connu. Or il s’agit bien, dans une perspective typiquement euclidienne, d’espèces différentes de figures : le carré n’est pas un cas particulier de rectangle, mais ce sont deux espèces particulières du même genre : le quadrilatère ((voir à ce sujet les commentaires détaillés de B. Vitrac sur les définitions 20 à 22 du 1er livre des Eléments)). Ce point est d’autant plus intéressant qu’il est en contradiction avec la façon dont rectangle et carré sont introduits au livre I (article 4) d’une façon qui suggère qu’un carré est à la fois carré et rectangle 

Ce point pourrait d’ailleurs être ajouté au précédent, car le rapport entre géométrie savante et géométrie procédurale ou « pratique » est souvent un enjeu majeur des traités du type « géométrie pratique ». A titre d’exemple,  Errard (qui n’hésite pas quant à lui, assez pédagogiquement, à proposer une liste de définitions au début de sa géométrie) indique bien qu’il envisage deux types de de lecteurs pour son traité : les rudes d’un côté (ignorants de la géométrie a priori) et les doctes (ou savants) de l’autre, qui retrouveront grosso modo les matières qu’on s’attend à voir abordées dans une géométrie savante. Il est lui-même l’auteur d’une traduction française, en rendant donc l’usage commode, des six premiers livres des Éléments, qui comportent tout ce qu’il y a d’essentiel pour la géométrie commune. 

Une interprétation charitable des critiques de Clairaut, au regard de son usage, et conforme à son propos, serait de considérer qu’il ne conteste pas l’existence de géométries savantes, mais bien plutôt l’ordre dans lesquelles elles introduisent les matières. Cet ordre d’introduction ne rend pas justice en effet à leur signification possible, à leur pourquoi, et c’est un des points que nous avons rediscutés. Mais cela ne dispense donc personne, passée l’introduction, de prendre connaissance d’une telle géométrie et d’en comprendre les critères : c’est aussi ce que suggère Clairaut au fil du texte. Dans la discussion, Katalin a suggéré que cette ambition, du point de vue du lectorat, pouvait s’interpréter comme chez Errard par l’ambition de toucher un lectorat multiple, comprenant des enseignants ou des mathématiciens dont il serait naturel de présupposer une connaissance préalable de la géométrie. La simple mention des “commençants”, auxquels on ne s’adresse pas en première personne, semble d’ailleurs aller dans ce sens⁴

Ce point de vue est important et permet notamment de rendre compte d’un principe de composition manifeste, obéissant au principe que Frédéric appelle joliment de « ratissage » : comme on l’a vu ci-dessus dans la présentation du travail préparatoire, certains problèmes ne sont manifestement introduits, qu’en fonction du bénéfice qu’on peut en tirer pour introduire une notion nouvelle. Dans les exemples évoqués lors de la séance, il s’agit par exemple : 

• Des différents problèmes de report du triangle, qui donnent l’occasion d’exposer les cas d’égalité des triangles ; 
• La construction alternative du report d’angle, qui permet d’introduire le concept de corde ; 
• Le problème de transformer un rectangle quelconque en un autre, de même superficie et de hauteur donnée, qui conduit à une longue digression introduisant le vocabulaire des proportions ; 
• Le fait de défendre explicitement les exigences légitimes de la géométrie, qui cherche l’exactitude et la démonstration, de préférence à des procédés approchés : c’est un des propos explicites du livre II ; 
• À un niveau plus structurel encore, dans le livre II, l’introduction de théorèmes sur les aires permettant de fonder la critique des jeux d’échelle qui permettaient une première fois d’introduire, dans le livre I, la notion de proportion. 

Tout se passe donc comme si les théorèmes, notions et méthodes de la géométrie savante jouaient en partie le rôle de « cause finale » dans la construction du texte, ce que Clairaut indique lui-même dans la préface, quand il annonce pouvoir, par son mode d’écriture, introduire tout ce que la géométrie a de plus intéressant. Ceci présuppose donc, un peu comme le fait Errard, que toute personne un peu versée dans la matière pourra reconnaître qu’on retrouve pour l’essentiel un tel « bagage géométrique ». Ceci pourrait être mis plausiblement en rapport, comme le suggèrent aussi bien Frédéric que Catherine, avec le fait qu’Alexis Clairaut est précocement admis à l’Académie, en vertu de ses premiers travaux de géométrie abstraite.  

Ce principe du ratissage va de pair avec une autre critique de Frédéric sur le terme de « problèmes dérivés » (comme le problème de construire un triangle de même grandeur qu’un autre, connaissant les côtés de ce dernier), par opposition au « problèmes générateurs » (comme le problème de reporter à l’échelle 1 pour 1 une figure polygonale). Il remarque à juste titre qu’ils ne sont pas généralement « dérivés » dans un sens logique étroit et habituel, mais plutôt dans un sens analytique, parce qu’ils permettent de construire une solution globale au problème générateur. La construction complète d’une solution vient ici témoigner, un peu comme dans une synthèse, de la réussite du montage et la « dérivation analytique », qui relève de l’invention. 

D’autre part, le repérage, dans la table des matières, de l’ensemble des résultats de la géométrie savante qui se trouve ainsi introduit, reçoit ici une nouvelle interprétation : on pourrait le voir comme la « preuve » visuelle, commode, qu’on retrouve bien ce qu’on s’attendrait à trouver dans une géométrie commune, quoiqu’ordonnée d’une manière nouvelle. Cette organisation est probablement à mettre en regard des entreprises encyclopédiques qui profitent des problèmes pour introduire une matière, mais permettent de retrouver un contenu attendu (cf. recherches de Iolanda Ventura sur le sujet, voir sa synthèse). 

4. Analyse du texte, et contextualisation 

Les deux types de discussion permettent de mieux comprendre comment s’articulent l’effort d’analyse du texte, avec celui de la contextualisation au sens strict, c’est-à-dire de mise en rapport du traité de Clairaut avec le réseau de textes qui lui ressemblent ou qui ont pu en inspirer la composition. Les deux types de texte qui sont mis en jeu sont, d’un côté, les textes de géométrie pratique, dans toute leur variété et leur complexité, que masque le titre apparemment univoque⁵. De l’autre il y a les textes dits « élémentaires » de géométrie, qu’il faudrait là aussi identifier plus en détail, et de manière à ce qu’on sache s’ils incluent ou non les commentaires traditionnels, notamment ceux de Proclus. 

1. D’abord appliqué à la géométrie, étendu à l’algèbre ; et que l’auteur comptait enfin étendre encore dans un traité plus complet, d’application de l’analyse à la géométrie – texte qu’il n’a jamais publié, s’il l’a même préparé [↩]
2. Catherine précise qu’en suivant Bertucci, ce mouvement d’idées plus général autour de l’esprit d’invention est à relier à Bacon dont l’influence sur les différents projets de réduction en arts est essentielle. Frédéric suggère quant à lui, de comparer le type de récit de Clairaut avec ceux des Encycopédistes. Je pense en particulier au retour incessant à la genèse de l’art, vue comme inscrite dans l’histoire. [↩]
3.  Frédéric remarque que ce terme est très utilisé en fortification jusqu’à la fin du 17e pour indiquer un ensemble de contenus appartenant aux différentes écoles (nationales) de fortification: forme des forteresses, algorithmes de tracés, moyens mathématiques des preuves apportées. Il y a donc là une question à approfondir [↩]
4. Cette interprétation serait facile à étayer en fonction de la réception de l’ouvrage chez ses contemporains, comme l’indique le site d’Olivier Courcelle [↩]
5. celle de Sébastien Leclerc, qu’évoque Catherine dans ses recherches en référence à un ouvrage trouvé dans la bibliothèque de Jean-Baptiste Clairaut, est probablement à considérer en tout premier lieu [↩]

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