L’évolution d’un enseignement du théorème de Pythagore vers une démarche par problèmes

Ce billet présente l’évolution de mon enseignement du théorème de Pythagore à travers les propositions des manuels scolaires, le public d’élèves rencontré (collèges ZEP, APV), les stages proposés au PAF dont ceux d’ Alain Bernard, la rencontre avec le texte de Rosza Peter: Jeux avec l’infini, ma participation à un groupe de travail et de nombreux échanges avec Katalin Gosztonyi. Je finis par proposer cet enseignement en séries de problèmes. Cette réflexion a eu lieu dans un établissement que j’ai quitté pour la rentrée 2016, l’expérimentation de ces séries est en cours mais le public diffère quelque peu.

J’ai commencé mon enseignement (2007) en utilisant les manuels comme support. Pour introduire le théorème de Pythagore, ces manuels proposaient de conjecturer l’égalité de Pythagore à partir de mesures des longueurs des côtés d’un triangle rectangle [Exemples activités manuels]. Cette approche m’a rapidement paru dépourvue de sens pour les élèves : Pourquoi calculer le carré des longueurs ? Pourquoi tester cette égalité ? Les erreurs des élèves en découlent : oubli d’élever les longueurs au carré, égalité mal écrite. J’ai alors cherché d’autres pistes.  

1. Approche par des puzzles : un aspect ludique pour faire entrer les élèves dans l’activité mathématique

D’une manière générale, dans l’établissement, les élèves se sentaient en échec en mathématiques et rencontraient beaucoup de difficultés, révélatrices de lacunes. Les notions apprises n’étaient pas solidement acquises, ils n’avaient pas le goût de l’effort, le travail hors la classe était insuffisant, manque d’autonomie, ils ne lisaient pas les consignes… Si le contenu n’était pas accessible dès l’entrée en activité, les élèves se détournaient d’elle. Ils étaient peu habitués à accepter de ne pas aboutir (rapidement) à une solution devant un problème mathématique. Nous étions devant le défi de les ré intéresser, de réveiller leur curiosité, créativité, leur envie de chercher, réfléchir ;d’où l’intérêt d’utiliser des puzzles [PDF différents puzzles]

Mon choix s’était d’abord porté sur ces deux puzzles :

  • Pour conjecturer l’égalité : le puzzle de Périgal
  • Pour démontrer cette égalité, le puzzle des quatre triangles

Mme Eveilleau propose, sur son site personnel « mathématiques magiques »  http://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr/ , ces différents puzzles: http://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr/pages/truc_mat/pythagor/textes/perigal.htm).

Le second puzzle pour la démonstration sera finalement abandonné car les élèves ne suivaient pas les enchaînements de la démonstration et cela finissait par engendrer trop de confusions.

Par la suite, j’ai décidé de commencer la séquence dédiée au théorème de Pythagore par une séance ludique, qui permettait de faire rentrer ensuite les élèves dans une réflexion mathématique à partir d’une situation plaisante, accessible et dont j’espèrait qu’elle (re) développerait leur goût de l’effort. La première séance a donc débuté avec le puzzle de Périgal,  un débat  a été instauré qui permettait de rappeler les règles de prise de parole et d’amener les élèves à l’égalité de Pythagore. De ce point de vue, l’avantage du puzzle était de leur proposer une image mentale simple qui donnait du sens à l’égalité de Pythagore.

Cette introduction du théorème de Pythagore a bien été reçue par les élèves, ils se sont tous mis en activité et cette séance s’est montrée riche d’échanges. J’ai alors décidé de partager cette pratique avec mes collègues de l’équipe de mathématiques de l’établissement. J’ai rédigé une narration de scénario de cette séance (voir scénario détaillé). En notant ainsi les échanges, en détaillant les réactions des élèves, mon objectif était d’échanger sur nos pratiques pédagogiques et de déclencher une dynamique de partage au sein de l’équipe, mais aussi d’en garder une trace pour améliorer ma séquence et avoir un recul sur son contenu.  

Le puzzle de Périgal s’était montré plus accessible pour les élèves, cependant les puzzles n’étant pas réinvestis dans la suite de la séquence, l’approche par les puzzles était restée trop superficielle, artificielle. De plus, le scénario de cette séance mettait en évidence le trop peu de dialogue avec les élèves, ils étaient trop guidés.   

2. Stage et groupe « Série de Problème », rencontre avec « Jeux avec l’infini » de Rozsa Peter

Lors du stage « Série de Problèmes », j’ai rencontré « Jeux avec l’infini » de Rózsa Péter. (édition de la traduction de 2014, Points Seuil)En lisant davantage cet ouvrage, la narration de R. Péter m’est apparue comme un sorte de modèle d’enseignement par sa structure : [Pdf notes de lecture R Peter]

  • Façon d’aborder une notion (partir d’une situation simple)
  • Importance du dialogue/questions
  • Référence historique (à développer dans la version actuelle du scénario présenté)
  • Humour, jeu (situation ludique : puzzle)
  • Diversités des domaines touchés par les mathématiques (lien puzzle et théorème de géométrie : Pythagore)

Voici de plus, suite à cette lecture, les différents points entrés en résonance avec mon amorce de travail sur Pythagore et qui m’ont conduit à des réflexions fondamentales sur mon enseignement:

  • Narration d’expérience pédagogique et cours dialogué

A travers cet ouvrage, Rózsa Péter raconte une situation de cours « dialogué » ( p 41 ). Une élève lui fait part d’une remarque et à partir de cette observation, une discussion est instaurée avec la classe ( écho avec ma tentative de narration de scénario). En s’autorisant donc à laisser plus de place à l’improvisation, au dialogue avec les élèves, on peut aboutir à des réflexions mathématiques avec eux formatrices. En donnant aux élèves plus de possibilités de s’exprimer, on enrichit les débats par ces échanges, on replace les règles de prises de parole, de débats, on augmente leurs occasions d’argumenter, on améliore la relation professeur/élève par une plus grande prise en compte de leur questions ou réflexions. La narration de scenarii de séances peut permettre de rendre explicites ces processus improvisés ou « inconscients ». La narration de l’improvisation permet d’en avoir moins « peur » puisque finalement, une part peut être anticipée par l’expérience décrite et l’explication des processus « inconscients » permet de les analyser et fournit un recul supplémentaire sur nos pratiques. En gardant une trace de cette séquence et en la comparant avec les futures séquences, cela permet de l’améliorer en prenant en compte les prérequis à revoir pour installer cette notion, les difficultés rencontrées par le professeur dans l’éclaircissement de certains points, les difficultés rencontrées par les élèves. Finalement, ce format d’écriture peut permettre un diagnostic plus concret des améliorations à prévoir dans ma séquence.

  • Donner du sens, reculer le formalisme

Au collège, peut-être faut-il accepter cette idée de vulgarisation et exiger moins de rigueur dans le langage et le symbolisme pour favoriser les raisonnements. Comme l’écrit Rózsa Péter: « Les mathématiques ne sont qu’un langage, un langage très particulier qui opère uniquement avec des symboles. La formule ci-dessus en est un exemple ; elle ne signifie rien de précis en elle-même, et chacun peut s’en servir pour exprimer son expérience individuelle. (…) La formule exprime avant tout notre satisfaction de voir toute cette diversité ramenée à une unité » (p 52-53). Reculer le formalisme peut permettre de donner plus de sens, enseigner par problèmes en redonne également. Dans la séquence initiale, bien que les élèves rentraient facilement dans l’activité et semblaient donner plus de sens à l’égalité de Pythagore, les erreurs diagnostiquées précédemment persistaient encore en trop grande proportion et le puzzle de Périgal n’était pas suffisamment ré investi. Le passage à l’égalité de Pythagore de type « AB²=AC²+CB² » était encore trop rapide. J’ai conservé le puzzle de Périgal, cependant, je rencontrais toujours la même difficulté suite à ce puzzle : Une fois les élèves raccrochés à l’activité proposée, comment poser les questions qui les amèneront vers la notion à découvrir? Jusqu’à lors, l’égalité n’était pas « naturelle » pour eux, c’est moi qui finissais par leur énoncer. Il manquait un problème mathématique pour les amener à cette égalité. Pour l’instant, la nécessité de cette égalité n’était finalement pas justifiée. J’ai réinvesti l’image mentale du puzzle de Périgal dans le cours avec une rédaction où les élèves redessinaient les carrés autour du triangle rectangle, calculaient les aires des carrés, en déduisaient l’aire manquante puis la longueur du triangle rectangle. Il ne restait plus que très peu d’oublis (élever les longueurs du triangle au carré) ou d’erreurs sur l’égalité . A leur rythme, les élèves s’approchent de la rédaction « experte ». (Des copies d’élèves seront présentées en annexe dans le paragraphe 3)

  • Travail sur les pré-requis

J’ai préparé la séquence sur l’égalité de Pythagore avec, en amont, du calcul mental de carré/racine carrée de nombres entiers, généralisé ces notions avec la touche « √ » de la calculatrice. J’ai revu la notion d’aire et les différentes formules pour les figures usuelles (carré, rectangle, parallélogramme, triangle, disque) et proposé ensuite le puzzle de Périgal en souhaitant que le lien avec les aires des carrés et le triangle rectangle se fasse plus facilement. Le travail sur la notion d’aire n’a pas été suffisant. Lors de l’activité avec le puzzle de Périgal, je rencontrais toujours la même difficulté : une fois que les élèves avaient placé les pièces du puzzle correctement, lors du dialogue afin de dégager l’intérêt mathématique de cette activité, les élèves n’y parvenaient pas, c’est moi qui leur énonçait l’égalité de Pythagore (en terme d’aire).

3. Dernier canevas de séquence, non testé

Suite aux dernières observations, j’ai accentué le travail préparatoire sur les aires : je propose des exercices avec une modélisation progressive du triangle rectangle et des carrés formés sur ses côtés.

Cette séquence est présentée sous la forme de série d’exercices. La série 1 n’a pas encore été testée, les séries 2 et 3 ont déjà été testées une année.

  • Série 1 : travail sur les aires [série1]

A travers cette première série d’exercices, je souhaite familiariser les élèves aux puzzles: calcul d’aire avec découpages et recollements de parties de la figure et par la même occasion, revoir les formules de calcul d’aire de figures usuelles (triangle rectangle, triangle quelconque, parallélogramme). Il est prévu que cette série soit présentée avant le chapitre « égalité de Pythagore », en exercices rituels (« questions flash ») de début de cours sur plusieurs semaines ou mois. Il est préférable de commencer tôt dans l’année afin de diagnostiquer l’état de connaissances des élèves.

  • Série 2 : reculer le formalisme , réinvestir le puzzle de Périgal [Série 2]

Cette série a pour objectifs:

la découverte de l’égalité de Pythagore: exercice 1, pour lequel se pose encore un souci de formulation de la question. Le puzzle est présenté sans la proposition de découpage dans un premier temps. D’autres découpages sont possibles, il faudra anticiper et justifier la présentation de ce découpage. L’intervention du professeur est justifiée avec la proposition de ce découpage.

sa restriction aux triangles rectangles: exercice 2

son utilisation pour déterminer une longueur d’un côté manquante dans le cas d’un triangle rectangle en utilisant l’image mentale du puzzle de Périgal de moins en moins modélisée dans l’énoncé. ( à partir de l’exercice 3)

Cette série d’exercices est présentée aux élèves en continu. A la fin de cette série, le cours peut être rédigé, en utilisant toujours l’image mentale de ce puzzle, n’imposant donc pas l’écriture du type AB² = AC²+BC² dans un premier temps. Cette exigence deviendra effective au fur et à mesure de l’année, les élèves y accèderont d’eux-même lorsqu’ils se sentent prêt à ce niveau d’abstraction. Une de leur motivation est le gain de temps dans la rédaction.

A travers les copies des élèves, j’ai pu constaté une nette régression des erreurs diagnostiquées précédemment (oublis des carrés ou égalité mal formulée), ce recul du formalisme  et l’image mentale du puzzle de Périgal semblent se révéler efficaces (PDF voir copies d’élèves en lien: Annexe

  • Série 3 : vers une modélisation progressive et autonome [Série 3]

Cette série a pour objectif d’amener les élèves vers une modélisation autonome. En effet, dans les énoncés, le triangle rectangle est de moins en visible, les schémas disparaissent.


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